\(N\)次元超球体の体積や表面積は広く知られている
\[V_{超球体} = \frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)} \frac{r^N}{N}\] \[S_{超球体}=\frac{2\pi ^{N/2}}{\Gamma(N/2)}r^{N-1}\]導出は\(N\)次元ガウス積分を二通りの方法で計算する n 次元球の体積 - EMANの統計力学 Ex-0002.pdf
\(N\)次元超球冠を考える．球冠とは図の青い領域．
球冠 - Wikipedia によれば，この体積は
\[V_{球冠} = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}} r^n}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \int_0^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)} \sin^n(t) \, dt\]となることが知られている．( Li, S (2011). “Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap”. Asian Journal of Mathematics & Statistics 4 (1): 66–70.)
この表面積を計算する．\(r\)で微分して，
\[S_{球冠} = \frac{dV}{dr} = \frac{\pi^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}} n r^{n-1}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right)} \int_0^{\arccos\left(\frac{-h + r}{r}\right)} \sin^n(t) \, dt + \frac{\pi^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}} h r^{n - 2} \left(\frac{h}{r} \left(2 - \frac{h}{r}\right) \right)^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right)}\]を得る．第二項は\(h\to 0, h\to 2r\) で消滅するので，球冠の底の部分の超面積になっている．
球面部分の面積（側面積）は\(S_{球冠}\)の第一項がそれにあたるから，
\[S_{側面積}=\frac{\pi^{\frac{n-1}{2}} n r^{n-1}}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \int_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)} \sin^n(t) \, dt\]これを\(h\)で微分すると，
\[\frac{dS_{側面積}}{dh} = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}} n r^{n - 2} \left(\frac{h}{r} \left(2-\frac{h}{r} \right) \right)^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right)} = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}} n r^{\frac{n-3}{2}} \left(h r \left(2-\frac{h}{r} \right) \right)^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right)}\]が得られる．
\(N\)次元超球台を考える．球台とは球を1対の平面で切断することで得られる図のような図形である．
この体積，表面積共に球冠の\(h\)差分を取れば求められる．